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（2）が指数関数や対数関数と三角関数が入り混じっている時はキングプロパティ使うとうまくいくことがそれなりにありますね。（3）は前2つの問題が綺麗に繋がるから簡単ですね。実質的に問題になっているのは（2）な気がします。
おっしゃる通りですね！最近、キングプロパティの問題を扱ってないので、どこかで取り上げてたいです。(3)は、誘導に乗る。実質は、(2)を解けるかどうかですね〜(^^)
改めて新設問を投稿させていただきます。今回は【数の理論】に関する設問になります。お時間の許される限りで動画解説いただければ幸いです。：【視聴者からの質問】『設問：f(x)=x⁶+3x⁵+x⁴-3x³-2x² のとき，次の各問に答えよ。(1) f(x) を因数分解せよ。(2) x に ２ から 100 までの整数を代入してできた 99 個の整数 f(2),f(3),f(4),･･･,f(99),f(100) の最大公約数を求めよ。』
いつも、ありがとうございます(^^)大切に投稿させていただきます。また、前々回の問題は、今週中には、投稿予定です。よろしくお願いします。ぺこり。
上記当方の質問設問の「答案例」をご紹介させていただきます。動画作製の「叩き台｣｢別解」などのご参考になれば幸いです。：(1)g(x)≡x⁴+3x²+x²-3x-2 とおくと，g(1)=0,g(-1)=0 になるので，g(x) は (x-1)(x+1)=x²-1 で割り切れるので，g(x)=(x-1)(x+1)(x²+3x+2)=(x-1)(x+1)²(x+2)したがって，f(x)=x⁶+3x⁵+x⁴-3x³-2x²=x²(x⁴+3x³+x²-3x-2)=x²(x+1)²(x-1)(x+2)■(2)f(2)=2²･3²･4=2⁴･3²ところで，n を２以上の任意の自然数とすると，f(n)=n²(n+1)²(n-1)(n+2)={(n-1)n(n+1)}{n(n+1)(n+1)(n+2)}は３つの連続した整数 (n-1)n(n+1) と n(n+1)(n+2) の積になっている.３つの連続した整数の中には１つだけ３の倍数があるので，これらの積は３の倍数になる.したがって，f(n) は 3×3=3² の倍数になっている.さらに，次のように分解してみると，f(n)={(n+2)(n+1)n(n-1)}n(n+1)(n+2) 個の異なるものから４個を取る組み合わせの数n₊₂Ｃ₄=(n+2)(n+1)n(n-1)/4!は整数である.ゆえに，(n+2)(n+1)n(n-1) は 4!=4×3×2×1=2³×3 の倍数である.さらに，n(n+1) は連続した２つの整数の積であるから偶数になる.ゆえに，f(n) は 2⁴×3 で割り切れる.以上から，f(n) は f(2)=2⁴×3² で割り切れることになり，99個の整数 f(2),f(3),f(4),･･･,f(99),f(100) の最大公約数は，f(2)=2⁴×3²=144■
これは、受験生のためになる解答ですね❗️ありがとうございます。大切に使わせてもらいます。ぺこり。
2x=tとおくと与式=1/2·∫[0,π]e^(cost)dt>1/2·∫[0,π](1+cost+cos²t/2+cos³t/6)dt ···①ここでcos²t/2=(cos2x+1)/4cos³t/6=(cos3t+3cost)/24と変形できるので①=1/2·[t-sint+(sin2t/2+t)/4+(sin3t/3+3sint)/24][0,π]=1/2·(π+π/4)=5π/8∴与式≧5π/8
受験生は、注目のコメントです！e^xを、マクローリン展開してます。理系の方は、ここまで出来れば、準備OKですよ！ナイスなコメントをありがとうございます。そして、明日の問題も、よろしくお願いします。ぺこり。
年々、マニアックになりますな！
おっしゃる通り、理系の問題は、クセが強くなっていきますね〜(^^)
良問ですね♪すごい誘導が綺麗でスラスラ解けて感動しました笑自分は(1)は左辺-右辺で増減表、(2)はキンプロでした👍️
良問です！やはり、皆さん、キンプロですね〜素晴らしいです(^^)
自分は(2)はキングプロパティを使いました信州大のこの問題良問すぎた
やはり、分かってる方は、キングプロパティですね〜良問です！
(1)f(x)は偶関数よりx≧0でf(x)≧0を示せば良い。↔︎f(0)=0よりx≧0でf(x)が単調増加関数であることを示せば良い。すなわちx≧0でf'(x)≧0を示せば良い↔︎f'(0)=0よりx≧0でf'(x)が単調増加関数であることを示せば良いすなわちx≧0でf"(x)≧0を示せば良いf"(x)=(e^x+e^(-x))/2-1(e^x+e^(-x))/2はe^x、e^(-x)>0で相加相乗平均の関係式より(e^x+e^(-x))/2≧√ (e^x e^(-x))=1より(e^x+e^(-x))/2≧1が成り立つ。(等号成立はe^x=e^(-x)よりx=0のとき)∴x≧0でf"(x)≧0となり、題意は示された。
受験生は、注目してください！まず、f(x)が偶関数であることにより、x≧0の増減を調べることにより、証明されています。動画の増減表を書くのを、省けますね。また、相加相乗平均も使うことが出来ます！ナイスなコメントをありがとうございます。そして、いつも、ありがとうございます(^^)
（3）の別解として、tが0からπ/2まで動く時の曲線y=e^cos2tの関数の概形を書いて、接戦引いて台形で面積近似して下方評価することで5π/8以上を示そうとしたら解けなかった。😢悔しい。でも考え方としては大事なはず。。。
流石ですね〜接線で、台形の面積も用いる❗️ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
キンプロって式が言ってる
言ってそうですね❗️ナイスなコメントをありがとうございます(^^)
信州大学むずくね？
おっしゃる通り！信州の数学は、工学部も理学部も難しいです。
（2）が指数関数や対数関数と三角関数が入り混じっている時はキングプロパティ使うとうまくいくことがそれなりにありますね。（3）は前2つの問題が綺麗に繋がるから簡単ですね。実質的に問題になっているのは（2）な気がします。
おっしゃる通りですね！
最近、キングプロパティの問題を扱ってないので、どこかで取り上げてたいです。
(3)は、誘導に乗る。
実質は、(2)を解けるかどうかですね〜(^^)
改めて新設問を投稿させていただきます。今回は【数の理論】に関する設問になります。お時間の許される限りで動画解説いただければ幸いです。：
【視聴者からの質問】
『設問：f(x)=x⁶+3x⁵+x⁴-3x³-2x² のとき，次の各問に答えよ。
(1) f(x) を因数分解せよ。
(2) x に ２ から 100 までの整数を代入してできた 99 個の整数 f(2),f(3),f(4),･･･,f(99),f(100) の最大公約数を求めよ。』
いつも、ありがとうございます(^^)
大切に投稿させていただきます。
また、前々回の問題は、今週中には、投稿予定です。
よろしくお願いします。ぺこり。
上記当方の質問設問の「答案例」をご紹介させていただきます。動画作製の「叩き台｣｢別解」などのご参考になれば幸いです。：
(1)
g(x)≡x⁴+3x²+x²-3x-2 とおくと，g(1)=0,g(-1)=0 になるので，g(x) は (x-1)(x+1)=x²-1 で割り切れるので，
g(x)
=(x-1)(x+1)(x²+3x+2)
=(x-1)(x+1)²(x+2)
したがって，
f(x)
=x⁶+3x⁵+x⁴-3x³-2x²
=x²(x⁴+3x³+x²-3x-2)
=x²(x+1)²(x-1)(x+2)■
(2)
f(2)
=2²･3²･4
=2⁴･3²
ところで，n を２以上の任意の自然数とすると，
f(n)
=n²(n+1)²(n-1)(n+2)
={(n-1)n(n+1)}{n(n+1)(n+1)(n+2)}
は３つの連続した整数 (n-1)n(n+1) と n(n+1)(n+2) の積になっている.
３つの連続した整数の中には１つだけ３の倍数があるので，これらの積は３の倍数になる.
したがって，f(n) は 3×3=3² の倍数になっている.
さらに，次のように分解してみると，
f(n)
={(n+2)(n+1)n(n-1)}n(n+1)
(n+2) 個の異なるものから４個を取る組み合わせの数
n₊₂Ｃ₄
=(n+2)(n+1)n(n-1)/4!
は整数である.
ゆえに，(n+2)(n+1)n(n-1) は 4!=4×3×2×1=2³×3 の倍数である.
さらに，n(n+1) は連続した２つの整数の積であるから偶数になる.
ゆえに，f(n) は 2⁴×3 で割り切れる.
以上から，f(n) は f(2)=2⁴×3² で割り切れることになり，99個の整数 f(2),f(3),f(4),･･･,f(99),f(100) の最大公約数は，
f(2)
=2⁴×3²
=144■
これは、受験生のためになる解答ですね❗️
ありがとうございます。
大切に使わせてもらいます。
ぺこり。
2x=tとおくと
与式=1/2·∫[0,π]e^(cost)dt
>1/2·∫[0,π](1+cost+cos²t/2+cos³t/6)dt ···①
ここで
cos²t/2=(cos2x+1)/4
cos³t/6=(cos3t+3cost)/24
と変形できるので
①=1/2·[t-sint+(sin2t/2+t)/4+(sin3t/3+3sint)/24][0,π]
=1/2·(π+π/4)=5π/8
∴与式≧5π/8
受験生は、注目のコメントです！
e^xを、マクローリン展開してます。
理系の方は、ここまで出来れば、準備OKですよ！
ナイスなコメントをありがとうございます。
そして、明日の問題も、よろしくお願いします。ぺこり。
年々、マニアックになりますな！
おっしゃる通り、理系の問題は、
クセが強くなっていきますね〜(^^)
良問ですね♪
すごい誘導が綺麗でスラスラ解けて感動しました笑
自分は(1)は左辺-右辺で増減表、(2)はキンプロでした👍️
良問です！
やはり、皆さん、キンプロですね〜
素晴らしいです(^^)
自分は(2)はキングプロパティを使いました
信州大のこの問題良問すぎた
やはり、分かってる方は、
キングプロパティですね〜
良問です！
(1)
f(x)は偶関数より
x≧0でf(x)≧0を示せば良い。
↔︎
f(0)=0よりx≧0でf(x)が単調増加関数であることを示せば良い。
すなわち
x≧0でf'(x)≧0を示せば良い
↔︎
f'(0)=0よりx≧0で
f'(x)が単調増加関数であることを示せば良い
すなわち
x≧0でf"(x)≧0を示せば良い
f"(x)=(e^x+e^(-x))/2-1
(e^x+e^(-x))/2は
e^x、e^(-x)>0で
相加相乗平均の関係式より
(e^x+e^(-x))/2≧√ (e^x e^(-x))=1より
(e^x+e^(-x))/2≧1が成り立つ。(等号成立はe^x=e^(-x)よりx=0のとき)
∴
x≧0でf"(x)≧0となり、題意は示された。
受験生は、注目してください！
まず、f(x)が偶関数であることにより、x≧0の増減を調べることにより、証明されています。
動画の増減表を書くのを、省けますね。
また、相加相乗平均も使うことが出来ます！
ナイスなコメントをありがとうございます。
そして、いつも、ありがとうございます(^^)
（3）の別解として、tが0からπ/2まで動く時の曲線y=e^cos2tの関数の概形を書いて、接戦引いて台形で面積近似して下方評価することで5π/8以上を示そうとしたら解けなかった。😢
悔しい。でも考え方としては大事なはず。。。
流石ですね〜
接線で、台形の面積も用いる❗️
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
キンプロって式が言ってる
言ってそうですね❗️
ナイスなコメントをありがとうございます(^^)
信州大学むずくね？
おっしゃる通り！
信州の数学は、工学部も理学部も難しいです。